来源：谈数论理 时间：2024-10-18 10:30:19
我们知道以下前n项自然数平方和的计算公式：
有很多关于这个公式的证明方法，比如数学归纳法、待定系数法、裂项相消法等。今天介绍两个数形结合的方法。
我们知道前n项自然数的和
于是
这是巧合吗？
把左边平方和拆开，乘法拆成加法，写成
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，...，第n行n个数，这样一共（1+2+3+...+n)=n(n+1)/2 个数相加。
简记为一张三角形图：
逆时针旋转120°，得到
再逆时针旋转120°，又得到
对上面三个三角形，相同位置处的三个数对应相加，其和恰为定值（2n+1)，即：
于是
立体的看，平方和就是下面所有方块的体积和：
堆起来，就是
类似地，取三堆相同的
然后再堆起来
最上面一层的方块，从中间切开，拼到缺的那部分，就得到一个三边分别为n+1/2,n,n+1的长方体：
于是总体积
当然，第二种方法也可以取6堆，直接拼成一个三边分别为2n+1,n,n+1的长方体。
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